Determine d Gd x se:
G(x)=integral0^x^5 cos (t^2) d t, x in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado define a função
G(x)=integral0^x^5cosl(t^2r),dt, xin[0,2pi],
e pede a derivada G'(x).
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar integrais com limite variável) e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
H(x)=integral0^u(x)f(t),dt,
então
H'(x)=fl(u(x)r),u'(x)
Aqui u(x)=x^5 e f(t)=cos(t^2). Logo,
G'(x)=cosl((x^5)^2r),ddx(x^5)

Passo 3

Calculando a derivada de x^5 e simplificando a composição:
ddx(x^5)=5x^4,
(x^5)^2=x^10,
então
G'(x)=5x^4cosl(x^10r)

Resposta

,G'(x)=5x^4cos(x^10)

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