Determine m para que:
(e) -x^2+(m+2) x-(m+3) >= 0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para determinar m tal que a inequação
-x^2 + (m+2),x - (m+3) >= 0
seja válida para todo xinR. O conteúdo necessário é o estudo do sinal de uma função quadrática, usando o coeficiente líder e o discriminante.

Passo 2

Recordando o critério geral para uma quadrática
f(x)=a,x^2+b,x+c
ser não negativa em todo R: é preciso ter
  1. a>0 e
  2. De<a<=0,
    onde De<a=b^2-4ac. Se a<0 e De<a<=0, então f(x)<=0 para todo x. Se a=0, reduz-se a uma função afim.

Passo 3

Identificando os coeficientes da nossa função
f(x)=-x^2+(m+2)x-(m+3),
temos
a=-1, b=m+2, c=-(m+3)
O discriminante é
De<a = b^2-4ac = (m+2)^2 -4l(-1r)l(-(m+3)r) = (m+2)^2 -4(m+3)
Calculando:
(m+2)^2 -4(m+3)=m^2+4m+4 -4m -12 = m^2-8
Logo De<a=m^2-8.

Passo 4

Para que -x^2+(m+2)x-(m+3)>=0 para todo x, precisaríamos de a>0 e De<a<=0. Aqui porém a=-1<0, o que faz a parábola ser côncava para baixo e impossibilita que ela fique acima do eixo x em toda a reta. A hipótese a=0 também falha, pois a é fixo igual a -1.

Resposta

Não existe valor de m que satisfaça
-x^2 + (m+2)x - (m+3) >= 0 forall xinR

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