Parametrize e esboce as superfícies indicadas a seguir:
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que está entre os planos z=-2 e z=2;

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar e esboçar a parte da esfera
x^2+y^2+z^2=16
que fica entre os planos z=-2 e z=2. O conteúdo é coordenadas esféricas, pois esse é o jeito mais direto de descrever faixas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas nós usamos
rho=4, x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com thetain[0,2pi) e phiin[0,pi].

Passo 3

Impondo a condição -2<= z<=2 temos
-2<=4cosphi<=2 ;Longrightarrow; -tfrac12<=cosphi<=tfrac12 ;Longrightarrow; phiinl[arccos(tfrac12),,arccos(-tfrac12)r] =l[tfracpi3,,tfrac2pi3r]

Passo 4

A parametrização final da faixa esférica é
r(phi,theta) =l(4sinphicostheta,;4sinphisintheta,;4cosphir),
com
phiinl[tfracpi3,,tfrac2pi3r], thetain[0,2pi]

Passo 5

Para esboçar, imagine a esfera de raio 4. Os planos z=pm2 cortam-na em círculos de raio
raiz16-2^2=raiz12=2raiz3
O trecho entre esses planos é uma “cinta” ou banda esférica centrada no plano z=0.

Resposta

A parametrização é
r(phi,theta) =l(4sinphicostheta,;4sinphisintheta,;4cosphir), phiinl[tfracpi3,,tfrac2pi3r], thetain[0,2pi]
O esboço é uma faixa esférica entre dois planos horizontais em z=pm2, cujas interseções com a esfera são círculos de raio 2raiz3.

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