Determine:
os máximos e mínimos absolutos de f(x)=sin x1+cos (x) no intervalo [-pi2, pi2].

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ no intervalo f(x) = sin x1 + cos x . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para identificar pontos críticos e analisar os valores da função nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $. Observamos que podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
f(x) = sin x1 + cos x
Substituindo na função, temos:
1 + cos x = 2 cos^2 (x2)
Então, $ f(x) = \tan \left(\frac{x}{2}\right) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $ para identificar os pontos críticos. A derivada de $ \tan u $ em relação a $ x $ é $ \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} $. Aplicando isso:
f(x)
Simplificando:
tan u

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
12 sec^2 (x2) = 0
Sabemos que $ \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) $ é sempre positivo, então não há pontos onde a derivada é zero dentro do intervalo. Portanto, os únicos candidatos para máximos e mínimos absolutos são os extremos do intervalo.

Passo 5

Vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos finais do intervalo:
Para $ x = -\frac{\pi}{2} $:
f(x)
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
x = -pi2

Resposta

No intervalo [-pi2, pi2], a função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ possui um mínimo absoluto de f(x) = sin x1 + cos x em $ x = -\frac{\pi}{2} $ e um máximo absoluto de -1 em $ x = \frac{\pi}{2} $.

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