Determine:
os máximos e mínimos absolutos de
no intervalo
.
os máximos e mínimos absolutos de
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar os máximos e mínimos absolutos da função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para identificar pontos críticos e analisar os valores da função nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $. Observamos que podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar:
Substituindo na função, temos:
Então, $ f(x) = \tan \left(\frac{x}{2}\right) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $ para identificar os pontos críticos. A derivada de $ \tan u $ em relação a $ x $ é $ \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} $. Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que $ \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) $ é sempre positivo, então não há pontos onde a derivada é zero dentro do intervalo. Portanto, os únicos candidatos para máximos e mínimos absolutos são os extremos do intervalo.
Passo 5
Vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos finais do intervalo:
Para $ x = -\frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Resposta
No intervalo
, a função $ f(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ possui um mínimo absoluto de
em $ x = -\frac{\pi}{2} $ e um máximo absoluto de
em $ x = \frac{\pi}{2} $.