Determine integral0^2 f(x, y) d y e integral0^1 f(x, y) d x.
f(x, y)=2 x y-3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração! A gente precisa calcular duas integrais definidas da função f(x, y) = 2xy - 3x^2 . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração em uma variável enquanto a outra é tratada como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral0^2 f(x, y) , dy. Aqui, estamos integrando em relação a y e considerando x como uma constante.

Passo 3

Substituindo a função na integral, temos:
integral0^2 (2xy - 3x^2) , dy

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2 2xy , dy - integral0^2 3x^2 , dy

Passo 5

Integrando cada parte:
  • Para integral 2xy , dy , tratamos 2x como constante:
2x integral y , dy = 2x cdot y^22 = x y^2
  • Para integral 3x^2 , dy , 3x^2 é constante em relação a y :
3x^2 integral dy = 3x^2 y

Passo 6

Substituindo os limites de integração:
[ x y^2 ]0^2 - [ 3x^2 y ]0^2 = x (2)^2 - 3x^2 (2) - (0 - 0) = 4x - 6x^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral integral0^1 f(x, y) , dx. Aqui, integramos em relação a x e tratamos y como constante.

Passo 8

Substituindo a função na integral:
integral0^1 (2xy - 3x^2) , dx

Passo 9

Separando a integral:
integral0^1 2xy , dx - integral0^1 3x^2 , dx

Passo 10

Integrando cada parte:
  • Para integral 2xy , dx , 2y é constante:
2y integral x , dx = 2y cdot x^22 = y x^2
  • Para integral 3x^2 , dx :
3 integral x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3

Passo 11

Substituindo os limites de integração:
[ y x^2 ]0^1 - [ x^3 ]0^1 = y (1)^2 - (1)^3 - (0 - 0) = y - 1

Resposta

integral0^2 f(x, y) , dy = 4x - 6x^2
integral0^1 f(x, y) , dx = y - 1

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