Determine se existem ou não os limites:
lim (x, y) (0,0) y x^2 cdot sin (yx^2)

Passo 1

Beleza! Temos que encontrar o limite da função y x^2 cdot sin ( yx^2 ) quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites em duas variáveis e as propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno tem uma propriedade bem legal: |sin(z)| <= 1 para qualquer valor de z. Isso significa que, independente do que for dentro do seno, o resultado sempre vai estar entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa função: y x^2 cdot sin ( yx^2 ) . Sabendo que |sin(cdot)| <= 1, podemos dizer que:
|y x^2 cdot sin ( yx^2 )| <= |y x^2| cdot 1 = |y x^2|

Passo 4

Então, para encontrar o limite da nossa função original, podemos focar em |y x^2| . Vamos analisar o que acontece com esse termo quando (x, y) se aproxima de (0, 0).

Passo 5

Sabemos que tanto x^2 quanto y tendem a zero quando x e y se aproximam de zero. Então, o produto |y x^2| também vai para zero, pois estamos multiplicando dois valores que estão indo para zero.

Passo 6

Como |y x^2| tende para zero e nossa função original está limitada por isso, podemos concluir que:
lim(x, y) (0,0) y x^2 cdot sin ( yx^2 ) = 0

Resposta

O limite existe e é igual a zero.

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