Determine integral0^2 f(x, y) d y e integral0^1 f(x, y) d x.
f(x, y)=x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas da função $ f(x, y) = x^{2} y^{3} $. Isso envolve o estudo de integrais múltiplas, uma parte da Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de $ f(x, y) $ em relação a $ y $ no intervalo de 0 a 2, ou seja:
f(x, y)
Aqui, $ x^{2} $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $. A regra básica que usamos aqui é:
y
Aplicando isso:
integral0^2 f(x, y) , dy = integral0^2 x^2 y^3 , dy
Então, substituindo de volta na nossa integral:
x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda integral, dessa vez em relação a $ x $ no intervalo de 0 a 1:
x
Aqui, $ y^{3} $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $. Usamos a mesma regra básica de integração:
integral0^1 f(x, y) , dx = integral0^1 x^2 y^3 , dx
Aplicando isso:
y^3
Então, substituindo de volta na nossa integral:
x

Resposta

integral0^2 f(x, y) , dy = 4x^2 e integral0^1 f(x, y) , dx = y^33

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