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.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais definidas da função $ f(x, y) = x^{2} y^{3} $. Isso envolve o estudo de integrais múltiplas, uma parte da Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de $ f(x, y) $ em relação a $ y $ no intervalo de 0 a 2, ou seja:
Aqui, $ x^{2} $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $. A regra básica que usamos aqui é:
Aplicando isso:
Então, substituindo de volta na nossa integral:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda integral, dessa vez em relação a $ x $ no intervalo de 0 a 1:
Aqui, $ y^{3} $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $. Usamos a mesma regra básica de integração:
Aplicando isso:
Então, substituindo de volta na nossa integral: