Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região limitada pela curva
, pela reta
e pelos eixos coordenados. A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo
.
A lâmina na forma da região limitada pela curva
Passo 1
Enunciado: temos uma lâmina no plano delimitada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ e^x; a densidade varia com a distância ao eixo x, ou seja é proporcional a y. O conteúdo é cálculo de massa e centro de massa usando integrais duplas e momentos de primeira ordem.
Passo 2
Como a densidade varia como a distância ao eixo x, definimos
onde
Passo 3
Cálculo da massa:
Passo 4
Cálculo do momento
em relação ao eixo y:
Integramos por partes: se
,
então
. Avaliando de 0 a 1:
$$\int_0^1x e{2x}dx=\frac{e2+1}{4}.
$$
Passo 5
Cálculo do momento
em relação ao eixo x:
Passo 6
Cálculo das coordenadas do centro de massa:
Resposta
M = \frac{\delta_0}{4}(e^2-1), \quad \bar x=\frac{e2+1}{2(e2-1)}, \quad \bar y=\frac{4(e3-1)}{9(e2-1)}