Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região limitada pela curva y=e^x, pela reta x=1 e pelos eixos coordenados. A densidade de massa por unidade de área varia como a distância ao eixo x.

Passo 1

Enunciado: temos uma lâmina no plano delimitada por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ e^x; a densidade varia com a distância ao eixo x, ou seja é proporcional a y. O conteúdo é cálculo de massa e centro de massa usando integrais duplas e momentos de primeira ordem.

Passo 2

Como a densidade varia como a distância ao eixo x, definimos
de
onde de é a constante de proporcionalidade. As fórmulas que vamos usar são:
M=integral duplaDde
bar x=MyM, bar y=MxM

Passo 3

Cálculo da massa:
M=de

Passo 4

Cálculo do momento My em relação ao eixo y:
My=de
Integramos por partes: se u=x, dv=e^2xdx então integral x e^2xdx=e^2x4(2x-1). Avaliando de 0 a 1:
$$\int_0^1x e{2x}dx=\frac{e2+1}{4}.
integral0^1x e^2xdx=e^2+14 M_y=\frac{\delta_0}{2}\cdot\frac{e2+1}{4}=\frac{\delta_0}{8}(e2+1).
$$

Passo 5

Cálculo do momento Mx em relação ao eixo x:
Mx=de

Passo 6

Cálculo das coordenadas do centro de massa:
bar x=MyM=tfracde

Resposta

M = \frac{\delta_0}{4}(e^2-1), \quad \bar x=\frac{e2+1}{2(e2-1)}, \quad \bar y=\frac{4(e3-1)}{9(e2-1)}

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