Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. A densidade de massa por unidade de área varia como a soma das distâncias aos dois lados retos.
A lâmina na forma da região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência
Passo 1
O enunciado pede a massa
e o centro de massa
de uma lâmina no primeiro quadrante limitada pelos eixos
e
e pela circunferência
. A densidade superficial é dada por
. Vamos usar coordenadas polares para descrever a região e calcular as integrais duplas necessárias.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
com
e
. A densidade vira
.
Passo 3
A massa é
Calculando cada parte:
,
.
Logo
Logo
Passo 4
O momento em relação ao eixo
(para calcular
) é
Isto dá
Calculamos
e
Portanto
Passo 5
Analogamente, o momento em relação ao eixo
(para
) é
Por simetria da expressão angular, obtemos o mesmo valor de
:
Passo 6
Os coordenados do centro de massa são
Substituindo
e análogo para
.