Nos Exercícios de 1 a 12, ache a massa e o centro de massa da lâmina, se a densidade de massa por unidade de área for a indicada. A massa é medida em quilogramas e a distância em metros.
A lâmina na forma da região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados. A densidade de massa por unidade de área varia como a soma das distâncias aos dois lados retos.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa l(bar x,bar yr) de uma lâmina no primeiro quadrante limitada pelos eixos x e y e pela circunferência x^2+y^2=a^2. A densidade superficial é dada por rho(x,y)=x+y. Vamos usar coordenadas polares para descrever a região e calcular as integrais duplas necessárias.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
com 0<= r<= a e 0<=theta<=pi/2. A densidade vira rho=r(costheta+sintheta).

Passo 3

A massa é
M=integral duplaRrho,dA =integral0^pi/2!integral0^ar(costheta+sintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2(costheta+sintheta),dtheta;integral0^ar^2dr
Calculando cada parte:
integral0^pi/2(costheta+sintheta),dtheta =l[sintheta-costhetar]0^pi/2=1-(-1)=2,
integral0^ar^2dr=a^33.
Logo
M=2cdota^33=2a^33

Passo 4

O momento em relação ao eixo y (para calcular bar x) é
My=integral duplaRx,rho,dA =integral0^pi/2!integral0^a(rcostheta)l[r(costheta+sintheta)r]r,dr,dtheta
Isto dá
My =integral0^pi/2l(costheta(costheta+sintheta)r),dtheta ;integral0^ar^3dr
Calculamos
integral0^ar^3dr=a^44 e
integral0^pi/2l(cos^2theta+sinthetacosthetar),dtheta =integral0^pi/2cos^2theta,dtheta+integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta =pi4+12
Portanto
My =a^44l(pi4+12r) =a^4(pi+2)16

Passo 5

Analogamente, o momento em relação ao eixo x (para bar y) é
Mx =integral duplaRy,rho,dA =integral0^pi/2!integral0^a(rsintheta)l[r(costheta+sintheta)r]r,dr,dtheta
Por simetria da expressão angular, obtemos o mesmo valor de My:
Mx =a^4(pi+2)16

Passo 6

Os coordenados do centro de massa são
bar x=MyM , bar y=MxM
Substituindo
bar x =a^4(pi+2)162a^33 =a(pi+2)16cdot32 =3a(pi+2)32,
e análogo para bar y.

Resposta

M=2a^33,
bar x=bar y=3a(pi+2)32

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