Determine integral0^2 f(x, y) d y e integral0^1 f(x, y) d x.
f(x, y)=x e^x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais da função f(x, y) = x e^x+y . O conteúdo aqui envolve integração múltipla e integrais definidas. Para resolver, vamos usar técnicas básicas de integração, como a integração por partes e propriedades das exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral0^2 f(x, y) , dy. Isso significa que vamos integrar f(x, y) em relação a y, mantendo x constante.

Passo 3

Substituindo a função na integral, temos:
integral0^2 x e^x+y , dy
Como x é constante em relação a y, podemos fatorá-lo para fora da integral:
x integral0^2 e^x+y , dy

Passo 4

Agora, vamos integrar e^x+y em relação a y. Sabemos que a integral de e^x+y em relação a y é:
integral e^x+y , dy = e^x+y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
x [ e^x+2 - e^x+0 ] = x ( e^x+2 - e^x )
Podemos fatorar e^x:
x e^x ( e^2 - 1 )

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral integral0^1 f(x, y) , dx. Aqui, vamos integrar f(x, y) em relação a x, mantendo y constante.

Passo 7

Substituindo a função na integral, temos:
integral0^1 x e^x+y , dx
Podemos reescrever e^x+y como e^y e^x, já que e^x+y = e^y e^x:
e^y integral0^1 x e^x , dx

Passo 8

Para integrar x e^x em relação a x, usamos a integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 1:
[ x e^x - e^x ]0^1 = (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 -1) = 0 +1 =1
Portanto:
e^y cdot 1 = e^y

Resposta

integral0^2 f(x, y) , dy = x e^x ( e^2 - 1 )
integral0^1 f(x, y) , dx = e^y

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