Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas integrais da função
. O conteúdo aqui envolve integração múltipla e integrais definidas. Para resolver, vamos usar técnicas básicas de integração, como a integração por partes e propriedades das exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. Isso significa que vamos integrar
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 3
Substituindo a função na integral, temos:
Como
é constante em relação a
, podemos fatorá-lo para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral
. Aqui, vamos integrar
em relação a
, mantendo
constante.
Passo 7
Substituindo a função na integral, temos:
Podemos reescrever
como
, já que
:
Passo 8
Para integrar
em relação a
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 9
Aplicando os limites de 0 a 1:
Portanto: