O valor da integral é :
Dica: Pode ser conveniente mudar a ordem de integração para resolver a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde às vezes é mais fácil mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como a área de integração está definida e aplicar a troca de ordem para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O valor de vai de 0 a 4, e para cada , o valor de vai de até 2. Para visualizar isso, imagine o gráfico onde é uma curva que começa na origem e sobe até , onde .
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Observando a região:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até (pois implica ).
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral interna fica:
Então, a integral dupla simplifica para:
integral0^2 y^2 cos(y^3) , dy
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral integral0^2 y^2 cos(y^3) , dy. Aqui, vamos usar a substituição u:
Seja u = y^3, então du = 3y^2 , dy ou $ \frac{du}{3} = y^{2} , dy$.
Substituindo na integral:
du3 = y^2 , dy
Voltando para integral cos(u) cdot du3 = 13 integral cos(u) , du = 13 sin(u) + C :
y
Passo 6
Agora, lembrando que trocamos a ordem da integração, precisamos multiplicar pelo fator que acabamos de calcular:
13 sin(8) cdot 3 = sin(8)
Mas, voltando aos limites originais e seguindo todos os passos corretamente, a resposta final que integra todos os componentes fica: