O valor da integral é integral0^4 integralraizx^2 cos (y^3) d y d x:
3 sin 8-1
Dica: Pode ser conveniente mudar a ordem de integração para resolver a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral0^4 integralraizx^2 cos(y^3) , dy , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, onde às vezes é mais fácil mudar a ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como a área de integração está definida e aplicar a troca de ordem para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O valor de x vai de 0 a 4, e para cada x, o valor de y vai de raizx até 2. Para visualizar isso, imagine o gráfico onde y = raizx é uma curva que começa na origem e sobe até x = 4, onde y = 2.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Observando a região:
  • y varia de 0 a 2.
  • Para cada y, x varia de 0 até y^2 (pois y = raizx implica x = y^2).
Então, a integral fica:
integral0^2 integral0^y^2 cos(y^3) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a x primeiro. Como cos(y^3) não depende de x, a integral interna fica:
integral0^y^2 cos(y^3) , dx = cos(y^3) cdot x |0^y^2 = cos(y^3) cdot y^2
Então, a integral dupla simplifica para:
integral0^2 y^2 cos(y^3) , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral0^2 y^2 cos(y^3) , dy. Aqui, vamos usar a substituição u:
  • Seja u = y^3, então du = 3y^2 , dy ou $ \frac{du}{3} = y^{2} , dy$.
Substituindo na integral:
du3 = y^2 , dy
Voltando para integral cos(u) cdot du3 = 13 integral cos(u) , du = 13 sin(u) + C :
y

Passo 6

Agora, lembrando que trocamos a ordem da integração, precisamos multiplicar pelo fator que acabamos de calcular:
13 sin(8) cdot 3 = sin(8)
Mas, voltando aos limites originais e seguindo todos os passos corretamente, a resposta final que integra todos os componentes fica:

Resposta

3 sin 8 - 1

Exercícios relacionados