Determine integral0^2 f(x, y) d y e integral0^1 f(x, y) d x.
f(x, y)=xy^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas de
f(x,y)=xy^2+1
  1. integral0^2f(x,y),dy, tratando x como constante;
  2. integral0^1f(x,y),dx, tratando y como constante.

Passo 2

Para integral0^2f(x,y),dy temos x constante, logo
integral0^2xy^2+1,dy = xintegral0^21y^2+1,dy
Aqui usamos que ddyl(arctan(y)r)=1y^2+1.

Passo 3

Calculando o integral em y:
integral0^21y^2+1,dy =l[arctan(y)r]0^2 =arctan(2)-arctan(0) =arctan(2)
Logo,
integral0^2f(x,y),dy =xarctan(2)

Passo 4

Para integral0^1f(x,y),dx y é constante, então
integral0^1xy^2+1,dx =1y^2+1integral0^1x,dx
Usamos que integral x,dx=tfracx^22.

Passo 5

Avaliando em x:
integral0^1x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac12
Assim
integral0^1f(x,y),dx =1y^2+1cdot12 =12(y^2+1)

Resposta

integral0^2f(x,y),dy = xarctan(2)
integral0^1f(x,y),dx = 12(y^2+1)

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