Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^x integral1^x+xy xy dz dy dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada da função f(x,y,z)=xy com limites
integral1^2integral0^xintegral1^x+xyxy,dz,dy,dx
Vamos integrar na ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Integramos primeiro em z, mantendo x e y como constantes:
integral1^x+xyxy,dz =xyl[zr]z=1^z=x+xy =xyl((x+xy)-1r) =xyl(x(1+y)-1r)

Passo 3

Expandimos o integrando em y:
xyl(x(1+y)-1r) = xy,(x + xy -1) = x^2y + x^2y^2 - xy
Assim a integral vira
integral1^2integral0^xl(x^2y + x^2y^2 - xyr),dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral em y de 0 a x:
integral0^xx^2y,dy = x^2x^22 =x^42, integral0^xx^2y^2,dy = x^2x^33 =x^53, integral0^xxy,dy = xx^22 =x^32
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integral0^xl(x^2y + x^2y^2 - xyr),dy =x^42+x^53-x^32

Passo 5

Agora integramos em x de 1 a 2:
integral1^2l(tfracx^53+tfracx^42-tfracx^32r),dx = l[tfracx^618+tfracx^510-tfracx^48r]1^2
Avaliação nos limites:
l(tfrac2^618+tfrac2^510-tfrac2^48r) - l(tfrac1^618+tfrac1^510-tfrac1^48r) = 21445-11360 =1701360 =18940

Resposta

18940

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