Determine partial zpartial x se x^2+y^3+z^4+5 x y z=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar partial zpartial x na equação x^2 + y^3 + z^4 + 5xyz = 1. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, onde vamos derivar em relação a x enquanto tratamos y como uma constante. Vamos usar a diferenciação implícita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x:
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x.
  • A derivada de y^3 em relação a x é 0 porque y é tratado como constante.
  • A derivada de z^4 em relação a x é 4z^3 cdot partial zpartial x (usando a regra da cadeia, já que z depende de x).
  • A derivada de 5xyz em relação a x é 5y z + 5x y cdot partial zpartial x (usando a regra do produto).
Então, derivando cada termo, temos:
2x + 0 + 4z^3 cdot partial zpartial x + 5y z + 5x y cdot partial zpartial x = 0

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que contêm partial zpartial x:
(4z^3 + 5xy) cdot partial zpartial x = - (2x + 5yz)
Para isolar partial zpartial x, dividimos ambos os lados pela 4z^3 + 5xy:
partial zpartial x = - (2x + 5yz) 4z^3 + 5xy

Resposta

partial zpartial x = - (2x + 5y z) 4z^3 + 5x y

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