Seja g(x)=integralraizx^3 x+1 h(s) d s, x>0 e h(s) contínua. Determine g^prime(x) em termos de h(x).

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integralraizx^3x+1h(s),ds,
com x>0 e h contínua. Precisamos encontrar g'(x) usando a regra de diferenciação de integrais cujos limites dependem de x.

Passo 2

A regra de Leibniz para
G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt
é
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Identificamos
a(x)=raizx, b(x)=3x+1
Derivando temos
a'(x)=ddxl(raizxr)=12raizx, b'(x)=ddx(3x+1)=3

Passo 4

Aplicando a fórmula de Leibniz ao nosso g(x), obtemos
g'(x) =hl(b(x)r),b'(x) ;-; hl(a(x)r),a'(x) =3,h(3x+1) -12raizx,h(raizx)

Resposta

g'(x)=3,h(3x+1)-12raizx,h(raizx)

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