Determine o limite.
lim t mapsto pi / 4(cos 2 t i+sen 2 t j+t^3 k)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial
limt to pi/4l(cos 2t,i + sen2t,j + t^3,kr)
O conteúdo usado é o cálculo de limite de função vetorial por limite componente a componente, valendo-se da continuidade das funções cos, sen e do polinômio t^3.

Passo 2

Usamos a propriedade de limites de funções vetoriais: se cada componente tem limite, o limite do vetor é o vetor dos limites. Como cos2t, sen2t e t^3 são funções contínuas em t=pi/4, basta substituir t=pi/4 em cada componente.

Passo 3

Calcular cada limite:
limttopi/4cos2t =cos!l(2cdottfracpi4r) =costfracpi2 =0,
limttopi/4sen2t =sen!l(2cdottfracpi4r) =sentfracpi2 =1,
limttopi/4t^3 =l(tfracpi4r)^3

Passo 4

Reunindo os resultados, obtemos
limt to pi/4l(cos2t,i + sen2t,j + t^3,kr) =0,i + 1,j + l(tfracpi4r)^3k

Resposta

0,i + j + l(tfracpi4r)^3k

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