Determine ddx :
y=x^3 cos x sen x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = x^3cos x,sin x
Aqui vamos usar a regra do produto e as derivadas das funções potência e trigonométricas.

Passo 2

Separemos em dois fatores:
f(x) = x^3, g(x)=cos x,sin x
Pela regra do produto,
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)

Passo 3

Calculamos f'(x) e deixamos g(x) como está:
f'(x) = 3x^2, g(x)=cos x,sin x

Passo 4

Para g'(x) usamos novamente a regra do produto em cos x e sin x:
g'(x) = (cos x)',sin x + cos x,(sin x)' = (-sin x),sin x + cos x,cos x = -sin^2x + cos^2x
E reconhecemos que
-sin^2x+cos^2x = cos(2x)

Passo 5

Substituindo em y' = 3x^2g(x) + x^3g'(x), obtemos
y' = 3x^2l(cos x,sin xr) + x^3l(cos 2xr)

Resposta

y' = 3x^2cos x,sin x ;+; x^3cos(2x)

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