Determine:
integral x^2(3+4 x-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral x^2l(3+4x-4x^2r)^3/2,dx
O conteúdo envolve integrar uma função racional com expressão quadrática elevada a 3/2. Vamos completar o quadrado no denominador, fazer u-substituição e decompor o numerador para usar integrais padrão (como integral u/(1-u^2)^3/2,du e integral du/(1-u^2)^3/2).

Passo 2

Complete o quadrado em 3+4x-4x^2:
3+4x-4x^2 =4l(1-(x-tfrac12)^2r)
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integral x^2(3+4x-4x^2)^3/2,dx =integral x^2l[4(1-(x-tfrac12)^2)r]^3/2,dx =18integral x^2,(1-(x-tfrac12)^2)^-3/2,dx
Faça a substituição
u = x-tfrac12, x = u+tfrac12, dx = du

Passo 3

Substituindo, o integral vira
I = 18integral (u+tfrac12)^2(1-u^2)^3/2,du = 18integral u^2+u+tfrac14(1-u^2)^3/2,du
Separe em três partes:
I = 18integral u^2(1-u^2)^3/2,du + 18integral u(1-u^2)^3/2,du + 132integral 1(1-u^2)^3/2,du

Passo 4

Calcule cada integral:
  1. integral u(1-u^2)^3/2,du.
    Com w=1-u^2, dw=-2u,du, resulta
    integral u(1-u^2)^3/2,du = 1raiz1-u^2
  2. integral u^2(1-u^2)^3/2,du.
    Escreva u^2=1-(1-u^2) e separe:
    integralu^2(1-u^2)^3/2,du = integral1(1-u^2)^3/2,du - integral1raiz1-u^2,du = I3 - arcsin(u)
  3. I3 = integral du(1-u^2)^3/2.
    Sabemos que
    ddu!l(uraiz1-u^2r) = 1(1-u^2)^3/2,
    logo
    I3 = uraiz1-u^2
Somando os resultados e recolhendo termos, chega-se a
I = 5u+432raiz1-u^2 ;-;18arcsin(u) ;+; C

Passo 5

Volte a x usando u=x-tfrac12 e
raiz1-u^2=tfrac12raiz3+4x-4x^2. Assim
I = 10x+332raiz3+4x-4x^2 -18arcsin!l(x-tfrac12r) + C

Resposta

boxed integral x^2(3+4x-4x^2)^3/2,dx = 10x+332raiz3+4x-4x^2 -18arcsin!l(x-tfrac12r) + C

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