Determine:
integral-2 raiz2-1^3 x raiz15-2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral de xraiz15-2x-x^2 no intervalo l[-2raiz2-1,,3r]. Vamos usar completar o quadrado em 15-2x-x^2, trocar variável para centralizar a raiz, e depois integrar termo a termo usando substituições usuais para integral traiza^2 - t^2 e integralraiza^2 - t^2.

Passo 2

Completamos o quadrado em
15-2x-x^2 = 16 - (x+1)^2

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t = x+1, logo x = t - 1. Quando x = -2raiz2 - 1 temos t = -2raiz2, e quando x=3 temos t=4. Assim a integral vira
integral-2raiz2^4(t-1)raiz16 - t^2,dt

Passo 4

Separamos a integral em
integral-2raiz2^4traiz16 - t^2,dt ;-; integral-2raiz2^4raiz16 - t^2,dt

Passo 5

Para integral traiz16 - t^2,dt usamos u = 16 - t^2, du = -2t,dt, resultando em
integral traiz16 - t^2,dt = -tfrac13,(16 - t^2)^3/2 + C

Passo 6

Para integralraiz16 - t^2,dt usamos a fórmula padrão de área de segmento circular, obtendo
integralraiz16 - t^2,dt = t2raiz16 - t^2 + 8arcsin!l( t4r) + C

Passo 7

Subtraindo as integrais e juntando constantes, definimos o antiderivado
F(t) = -tfrac13(16 - t^2)^3/2 - t2raiz16 - t^2 - 8arcsin!l( t4r),
que satisfaz F'(t) = (t-1)raiz16 - t^2.

Passo 8

Calculamos F(4) e F(-2raiz2):
F(4):16-4^2=0implies F(4)=-8arcsin(1)=-8cdotpi2=-4pi,
F(-2raiz2):; 16-(-2raiz2)^2=8,;raiz8=2raiz2implies F(-2raiz2)=-tfrac16raiz23+4+2pi
Logo a integral vale
F(4)-F(-2raiz2) = -4pi -l(-tfrac16raiz23+4+2pir) = 16raiz23-4-6pi

Resposta

16raiz23-4-6pi

Exercícios relacionados