Determine:
integral (9-x^2)^1 / 2x^2 d x

Passo 1

Então, vamos resolver a integral integral raiz9 - x^2x^2 , dx. Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente no uso de substituições trigonométricas para resolver integrais que contêm expressões como raiza^2 - x^2. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão raiz9 - x^2. Sabemos que para termos da forma raiza^2 - x^2, é útil substituir x = a sintheta. Aqui, a = 3, então vamos definir:
x = 3 sintheta
Isso significa que dx = 3 costheta , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral raiz9 - x^2x^2 , dx = integral raiz9 - 9sin^2theta9sin^2theta cdot 3costheta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz9(1 - sin^2theta) = raiz9cos^2theta = 3costheta
Então, a integral fica:
integral 3costheta9sin^2theta cdot 3costheta , dtheta = integral 9cos^2theta9sin^2theta , dtheta = integral cos^2thetasin^2theta , dtheta

Passo 4

A expressão cos^2thetasin^2theta pode ser reescrita como cot^2theta. Sabemos que cot^2theta = csc^2theta - 1, então:
integral cot^2theta , dtheta = integral (csc^2theta - 1) , dtheta = -cottheta - theta + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x. Sabemos que:
x = 3sintheta Rightarrow sintheta = x3
Desenhe um triângulo retângulo onde o ângulo theta tem sintheta = x3, o que significa que o cateto oposto é x e a hipotenusa é 3. O cateto adjacente será raiz9 - x^2.
Então:
cottheta = costhetasintheta = raiz9 - x^2x
E:
theta = arcsin(x3)

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
-cottheta - theta + C = -raiz9 - x^2x - arcsin(x3) + C

Resposta

A integral integral raiz9 - x^2x^2 , dx é igual a:
-raiz9 - x^2x - arcsin(x3) + C
onde C é a constante de integração.

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