Determine:
integral0^2 raiz3 y^3raiz16-y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2raiz3 y^3raiz16 - y^2,dy
O conteúdo envolve substituição trigonométrica, pois há uma raiz do tipo raiza^2-y^2. Vamos usar a substituição y = 4sintheta.

Passo 2

Fazendo y = 4sintheta, temos dy = 4costheta,dtheta e
raiz16 - y^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta,
onde costheta>=0 para thetain[0,pi/2].
Os limites mudam assim:
y=0 Longrightarrow theta=0, y=2raiz3 Longrightarrow 4sintheta=2raiz3 Longrightarrow sintheta=tfracraiz32 Longrightarrow theta=tfracpi3
Substituindo na integral,
integral0^2raiz3 y^3raiz16 - y^2,dy = integral0^pi/3 (4sintheta)^34costheta;4costheta,dtheta = integral0^pi/3 64sin^3theta,dtheta

Passo 3

Agora calculamos
64integral0^pi/3 sin^3theta,dtheta
Usamos sin^3theta=(1-cos^2theta)sintheta e a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta. Assim,
integral sin^3theta,dtheta = integral (1 - u^2)(-du) = -integral (1 - u^2),du = -l(u - tfracu^33r) + C = -costheta - tfraccos^3theta3 + C
Portanto a integral original vira
64l[-costheta - tfraccos^3theta3r]0^pi/3

Passo 4

Calculando nos limites:
cosl(tfracpi3r)=tfrac12, cos(0)=1,
então
-cosl(tfracpi3r)-tfraccos^3(pi/3)3 = -tfrac12 - tfrac1/83 = -tfrac12 - tfrac124 = -tfrac1324,
-cos(0)-tfraccos^3(0)3 = -1 - tfrac13 = -tfrac43 = -tfrac3224
A diferença é
l(-tfrac1324r) - l(-tfrac3224r) = tfrac1924,
e multiplicando por 64 obtemos
64 cdot tfrac1924 = tfrac6424cdot19 = tfrac83cdot19 = tfrac1523

Resposta

integral0^2raiz3 y^3raiz16 - y^2,dy = 1523

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