Suponha que |v(t)| neq 0 para todo t. Faça T(t)=v(t)v(t) onde v(t)=|v(t)|. Prove que :
a=v d Td t+v(t)d t T, onde a=d vd t

Passo 1

O enunciado define
vec v(t) com v(t)=|vec v(t)|neq0 e
vec T(t)=vec v(t)v(t).
Queremos provar que, para vec a(t)=dvec vdt, vale
vec a = v,dvec Tdt+dvdt,vec T
O que faremos é usar a regra do produto para derivar a igualdade
vec v(t)=v(t),vec T(t).

Passo 2

Da definição de vec T temos imediatamente
vec v(t)=v(t),vec T(t)
Agora derivamos ambos os lados em relação a t. Pela regra do produto entre o escalar v(t) e o vetor vec T(t), obtemos
dvec vdt =ddtl(v,vec Tr) =dvdt,vec T +v,dvec Tdt

Passo 3

Reconhecendo dvec vdt=vec a, reescrevemos a igualdade como
vec a =v,dvec Tdt +dvdt,vec T,
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

boxedvec a = v,dvec Tdt +dvdt,vec T

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