Determine:
integralraiz2^2 d ww^3 raizw^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralraiz2^2dww^3raizw^2-1
O conteúdo principal aqui é integração por substituição trigonométrica, pois aparece raizw^2-1.

Passo 2

Fazemos a substituição
w = sectheta,
de modo que
raizw^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta,
dw = secthetatantheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica
dww^3raizw^2-1 = secthetatantheta,dthetasec^3thetacdottantheta = 1sec^2theta,dtheta = cos^2theta,dtheta

Passo 4

Agora ajustamos os limites. Quando w=raiz2, tem-se sectheta=raiz2impliestheta=pi/4.
Quando w=2, tem-se sectheta=2impliestheta=pi/3.
Portanto a integral vira
integralpi/4^pi/3cos^2theta,dtheta

Passo 5

Usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2,
cujo primitivo é
integral cos^2theta,dtheta = 12integral(1+cos2theta),dtheta = theta2 + sin2theta4

Passo 6

Avaliamo-lo entre pi/4 e pi/3:
Para theta=pi/3:
Fl(tfracpi3r) =pi/61+sin(2pi/3)4 =pi6+raiz3/24 =pi6+raiz38
Para theta=pi/4:
Fl(tfracpi4r) =pi/8+sin(pi/2)4 =pi8+14
Subtraindo, obtemos
l(pi6+raiz38r) -l(pi8+14r) =pi6-pi8+raiz38-14 =pi24+raiz3-28

Resposta

integralraiz2^2dww^3raizw^2-1 =pi24+raiz3-28

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