Determine a diferencial da função
z=sen^2(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de z=sin^2l(x^2+y^2r).
O conteúdo é cálculo de diferenciais em funções de várias variáveis, usando a regra da cadeia e a diferencial total.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos a função interna
u = x^2 + y^2,
de modo que
z = sin^2(u)
Logo, pela regra da cadeia temos
dz = ddul(sin^2(u)r),du
Como tfracddusin^2(u)=2sin(u)cos(u)=sinl(2ur), fica
dz = sinl(2ur),du

Passo 3

Agora calculamos a diferencial de u. Como u=x^2+y^2,
du = partial upartial x,dx + partial upartial y,dy = 2x,dx + 2y,dy

Passo 4

Substituindo u=x^2+y^2 e du=2x,dx+2y,dy em
dz = sinl(2ur),du
obtemos
dz = sinl(2(x^2+y^2)r),l(2x,dx + 2y,dyr)
Podemos fatorar o 2:
dz = 2,sinl(2(x^2+y^2)r),(x,dx + y,dy)

Resposta

dz = 2,sinl(2(x^2+y^2)r),(x,dx + y,dy)

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