Determine:
lim x -1 x^2+2 x2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função
f(x)=x^2+2x2x+2
quando x se aproxima de -1. O conteúdo é limite em ponto de descontinuidade (possível assíntota vertical). Vamos usar fatoração e análise de limites laterais.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+2x2x+2 =x(x+2)2(x+1)
Assim, perto de x=-1, o numerador tende a
x(x+2)|xto-1=(-1)cdot(-1+2)=-1,
um valor constante e diferente de zero, enquanto o denominador tende a zero.

Passo 3

Para ver o comportamento, analisamos os limites laterais:
Limite pela direita ( xto-1^+): então x+1>0 e 2(x+1)>0. Como o numerador vale aproximadamente -1 (negativo) e o denominador é positivo e tende a zero,
limxto-1^+f(x)=-infty
Limite pela esquerda ( xto-1^-): então x+1<0 e 2(x+1)<0. Numerador continua perto de -1 (negativo), denominador é negativo e tende a zero,
limxto-1^-f(x)=+infty

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (um dá +infty e o outro dá -infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto-1x^2+2x2x+2 não existe.

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