Solução por
Solução por
Passo 1
Ei! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. A equação que temos é:
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada solução por substituição, assumindo que
, onde
é um número que precisamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação. Mas para isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
.
Calculando a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
permanece igual.
Agora, a equação fica:
Passo 5
Como todos os termos têm
, podemos fatorar isso:
Para que essa equação seja verdadeira para qualquer
, o que está entre colchetes precisa ser igual a zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, podemos escrever as soluções particulares da equação diferencial:
Passo 8
Como a equação é linear e de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear das soluções particulares:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: