x^2 d^2 yd x^2-2 x d yd x-4 y=0
Solução por y=x^m

Passo 1

Ei! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. A equação que temos é:
x^2 d^2 yd x^2 - 2 x d yd x - 4 y = 0
Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada solução por substituição, assumindo que y = x^m , onde m é um número que precisamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y = x^m na equação. Mas para isso, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de y em relação a x .
Calculando a primeira derivada:
d yd x = m x^m-1
E a segunda derivada:
d^2 yd x^2 = m (m - 1) x^m-2

Passo 3

Agora, vamos substituir y , d yd x e d^2 yd x^2 na equação original:
x^2 cdot m (m - 1) x^m-2 - 2x cdot m x^m-1 - 4 x^m = 0

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. x^2 cdot m (m - 1) x^m-2 = m (m - 1) x^m
  2. -2x cdot m x^m-1 = -2m x^m
  3. -4 x^m permanece igual.
Agora, a equação fica:
m (m - 1) x^m - 2m x^m - 4 x^m = 0

Passo 5

Como todos os termos têm x^m , podemos fatorar isso:
[m (m - 1) - 2m - 4] x^m = 0
Para que essa equação seja verdadeira para qualquer x , o que está entre colchetes precisa ser igual a zero:
m (m - 1) - 2m - 4 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para m :
m^2 - m - 2m - 4 = 0
m^2 - 3m - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
m = 3 pm raiz9 + 162
m = 3 pm raiz252
m = 3 pm 52
Então, temos duas soluções para m :
  1. m = 3 + 52 = 4
  2. m = 3 - 52 = -1

Passo 7

Agora que temos os valores de m , podemos escrever as soluções particulares da equação diferencial:
  1. y1 = x^4
  2. y2 = x^-1 = 1x

Passo 8

Como a equação é linear e de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear das soluções particulares:
y = C1 x^4 + C2 1x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x^4 + C2x

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