Questão 2. ( 2,0 pts ) Calcule os valores de a, b de modo que exist am os limites lim x 3 f(x) e lim x -3 f(x), onde a função f: R R é dada por
f(x)=l 2 x-a, x<-3 a x+2 b,-3 <= x <= 3 b-5 x, 3<x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar os valores de a e b para que os limites lim x 3 f(x) e lim x -3 f(x) existam. A função f(x) está dividida em três partes, dependendo do valor de x :
f(x)=l 2 x - a, x < -3 a x + 2 b, -3 <= x <= 3 b - 5 x, 3 < x
Vamos usar conceitos de limites laterais para garantir que a função seja contínua nos pontos x = -3 e x = 3 .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o limite quando x se aproxima de -3 exista. Isso significa que o limite pela esquerda ( x to -3^- ) deve ser igual ao limite pela direita ( x to -3^+ ).
Para x < -3 , a função é f(x) = 2x - a . Então:
limx to -3^- f(x) = 2(-3) - a = -6 - a
Para -3 <= x <= 3 , a função é f(x) = a x + 2 b . Então:
limx to -3^+ f(x) = a(-3) + 2b = -3a + 2b
Como os limites devem ser iguais:
-6 - a = -3a + 2b

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para x se aproximando de 3 . O limite pela esquerda ( x to 3^- ) deve ser igual ao limite pela direita ( x to 3^+ ).
Para -3 <= x <= 3 , a função é f(x) = a x + 2 b . Então:
limx to 3^- f(x) = a(3) + 2b = 3a + 2b
Para x > 3 , a função é f(x) = b - 5x . Então:
limx to 3^+ f(x) = b - 5(3) = b - 15
Igualando os limites:
3a + 2b = b - 15

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. -6 - a = -3a + 2b
  2. 3a + 2b = b - 15
Vamos resolver essas equações para encontrar a e b .
Primeiro, da segunda equação:
3a + 2b = b - 15
Subtraindo b de ambos os lados:
3a + b = -15

Passo 5

Agora, da primeira equação:
-6 - a = -3a + 2b
Vamos adicionar 3a a ambos os lados:
-6 + 2a = 2b
Dividindo ambos os lados por 2:
-3 + a = b

Passo 6

Agora sabemos que b = a - 3 . Vamos substituir isso na equação que obtivemos anteriormente:
3a + b = -15
Substituindo b :
3a + (a - 3) = -15
Simplificando:
4a - 3 = -15

Passo 7

Vamos resolver para a :
4a = -15 + 3
4a = -12
a = -3
Agora que temos a = -3 , substituímos de volta para encontrar b :
b = a - 3 = -3 - 3 = -6

Resposta

Os valores são a = -3 e b = -6 .

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