Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.
integral0^1(1-2 x)^3 d x

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos calcular a integral definida de (1-2x)^3 de 0 a 1. Isso está no assunto de cálculo integral, especialmente usando substituição para encontrar uma primitiva. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma substituição simples e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = 1 - 2x . Agora, precisamos encontrar du em termos de dx .

Passo 3

Derivando u em relação a x , temos:
du = -2 , dx implies dx = -12 , du
Isso nos ajuda a substituir dx na integral original.

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral:
integral0^1 (1-2x)^3 , dx = integralu(0)^u(1) u^3 (-12) du
Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com u :
  • Quando x = 0 , u = 1 - 2(0) = 1
  • Quando x = 1 , u = 1 - 2(1) = -1

Passo 5

Substituindo os limites, a integral fica:
-12 integral1^-1 u^3 , du
Podemos trocar os limites de integração e eliminar o sinal negativo:
12 integral-1^1 u^3 , du

Passo 6

Vamos calcular a primitiva de u^3 , que é u^44 . Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
12 [ (1)^44 - (-1)^44 ] = 12 ( 14 - 14 ) = 0

Resposta

A integral integral0^1(1-2 x)^3 , dx é igual a 0.

Exercícios relacionados