Use a Regra da Cadeia para achar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=(x-y)^5, x=s^2 t, y=s t^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos z=(x-y)^5, x=s^2 t e y=s t^2. Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis, que diz:
partial zpartial s = partial zpartial xpartial xpartial s + partial zpartial ypartial ypartial s
partial zpartial t = partial zpartial xpartial xpartial t + partial zpartial ypartial ypartial t

Passo 2

Primeiro encontramos partial z/partial x e partial z/partial y. Seja u = x - y, então z = u^5 e
dzdu = 5u^4
Como u = x - y, temos
partial zpartial x = 5(x-y)^4, partial zpartial y = -5(x-y)^4
Também
partial xpartial s = 2s,t, partial ypartial s = t^2
Logo,
partial zpartial s = 5(x-y)^4cdot(2s,t) + l(-5(x-y)^4r)cdot t^2 =5(x-y)^4,(2s,t - t^2)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a t. Já temos partial z/partial x e partial z/partial y do passo anterior, e
partial xpartial t = s^2, partial ypartial t = 2s,t
Portanto,
partial zpartial t = 5(x-y)^4cdot s^2 + l(-5(x-y)^4r)cdot(2s,t) =5(x-y)^4,(s^2 - 2s,t)

Resposta

partial zpartial s = 5l(s,t,(s - t)r)^4,(2s,t - t^2)
partial zpartial t = 5l(s,t,(s - t)r)^4,(s^2 - 2s,t)

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