1. Determine lim x +infty raizx^2+5 x-xx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty raizx^2+5 x-xx. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente lidando com limites no infinito. Para resolver, vamos precisar manipular algébricamente a expressão e entender como as funções se comportam quando x fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: raizx^2+5x - x. Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar e dividir pelo conjugado, que nesse caso é raizx^2+5x + x. Isso ajuda a eliminar a raiz quadrada. Aí vai:
raizx^2+5x - xx times raizx^2+5x + xraizx^2+5x + x = (raizx^2+5x)^2 - x^2x (raizx^2+5x + x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Sabemos que (raizx^2+5x)^2 = x^2 + 5x. Então:
x^2 + 5x - x^2x (raizx^2+5x + x) = 5xx (raizx^2+5x + x)

Passo 4

Podemos cancelar o x que está no numerador e no denominador:
5raizx^2+5x + x

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador raizx^2+5x + x. Podemos fatorar x de dentro da raiz:
raizx^2+5x = x raiz1 + 5x
Então o denominador fica:
x raiz1 + 5x + x = x ( raiz1 + 5x + 1 )

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
5x ( raiz1 + 5x + 1 )
Agora, vamos considerar o limite quando x tende ao infinito. À medida que x fica muito grande, 5x tende a 0. Então:
raiz1 + 5x approx raiz1 + 0 = 1

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão:
5x (1 + 1) = 52x

Passo 8

Agora, ao calcular o limite quando x tende ao infinito:
lim x +infty 52x = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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