Determine Im(e^i sen z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a parte imaginária de e^i sin z . Estamos lidando com números complexos aqui, e para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções exponenciais e trigonométricas no contexto de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante da matemática complexa: e^itheta = cos theta + i sin theta . Essa é a famosa fórmula de Euler, que relaciona exponenciais complexas com funções trigonométricas.

Passo 3

No nosso caso, temos e^i sin z . Podemos aplicar a fórmula de Euler substituindo theta por sin z . Assim:
e^i sin z = cos(sin z) + i sin(sin z)

Passo 4

Agora, queremos apenas a parte imaginária dessa expressão. Olhando para a fórmula acima, a parte imaginária é o termo que está multiplicado por i , ou seja, sin(sin z) .

Passo 5

Portanto, a parte imaginária de e^i sin z é simplesmente sin(sin z) .

Resposta

Im(e^i sin z) = sin(sin z)

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