Obtenha a solução geral para a Equação diferencial:
(2 x+y1+x^2 y^2) d x+(x1+x^2 y^2-2 y) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
l(2x+y1+x^2y^2r),dx+l(x1+x^2y^2-2yr),dy=0
Isso é uma forma diferencial da forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Para resolvê-la, vamos usar o critério de exatidão e, em seguida, construir uma função potencial psi(x,y) tal que partialpsi/partial x=M e partialpsi/partial y=N.

Passo 2

Verificamos exatidão calculando
partial Mpartial y =partialpartial yl(2x+y1+x^2y^2r) =1 - x^2y^2(1+x^2y^2)^2
e
partial Npartial x =partialpartial xl(x1+x^2y^2-2yr) =1 - x^2y^2(1+x^2y^2)^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 3

Existe psi(x,y) tal que
partialpsipartial x =2x+y1+x^2y^2
Integramos em x:
integral 2x,dx = x^2, integral y1+x^2y^2,dx stackrelt=xy= integraldt1+t^2=arctan(t)=arctan(xy)
Logo
psi(x,y)=x^2+arctan(xy)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo partialpsi/partial y=N, temos
partialpsipartial y =x1+x^2y^2+h'(y) stackrel!= x1+x^2y^2-2y ;Longrightarrow; h'(y)=-2y ;Longrightarrow; h(y)=-y^2

Passo 5

Portanto
psi(x,y)=x^2+arctan(xy)-y^2
é constante na solução geral.

Resposta

x^2-y^2+arctan(xy)=C,
com C constante arbitrária.

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