Resolva o problema de valor inicial: x d vd x=1-4 v^23 v, v(1)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
xdvdx = 1-4v^23v, v(1)=0
Este é um EDO separável. Vamos separar as variáveis v e x e integrar.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
3v;dv,1-4v^2, ;=;dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, fazemos a substituição w=1-4v^2, de modo que dw=-8v,dv, logo v,dv=-tfrac18dw. Assim,
integral 3v1-4v^2,dv =3integral v,dvw =-38integral dww =-38lnl|wr|+C1 =-38lnl|1-4v^2r|+C1
No lado direito,
integral dxx = ln|x| + C2
Igualando constantes, obtemos
-38lnl|1-4v^2r| = ln|x| + C

Passo 4

Multiplicando por -tfrac83 e exponenciando, vem
lnl|1-4v^2r| = -83ln|x| + C' Longrightarrow l|1-4v^2r| = D,x^-tfrac83,
onde D=e^C'. Removendo valor absoluto (absorvendo sinal em D), escrevemos
1-4v^2 = C,x^-tfrac83 Longrightarrow v^2 = 1 - C,x^-tfrac834

Passo 5

Usamos a condição v(1)=0:
0^2 = 1 - Ccdot1^-tfrac834 ;Longrightarrow; 1 - C = 0 ;Longrightarrow; C = 1
Logo
v^2 = 1 - x^-tfrac834

Passo 6

A solução geral de valor inicial é
v(x) = pm 12raiz,1 - x^-tfrac83,,
definida para x>=1. Ambas as escolhas de sinal passam por v(1)=0, pois a equação não é Lipschitz em v=0.

Resposta

v(x) = pm 12raiz,1 - x^-tfrac83,, x>=1

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