Mostre que:
(i) cos z=cos barz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a conjugada de cos z é igual a cos da conjugada de z, ou seja, cos z = cos z. Isso está dentro do conteúdo de Análise Complexa, onde lidamos com funções de número complexo e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a conjugada de um número complexo e como a função cosseno se comporta em números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a conjugada de um número complexo. Se z = a + bi, onde a e b são números reais, então a conjugada de z é z = a - bi. A conjugada basicamente muda o sinal da parte imaginária.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como a função cosseno é definida para números complexos. Para um número complexo z, temos:
cos z = e^iz + e^-iz2
Essa fórmula usa a definição de funções trigonométricas em termos de exponenciais complexas, que é super útil em Análise Complexa.

Passo 4

Vamos calcular a conjugada de cos z. Usando a definição acima:
cos z = e^iz + e^-iz2 = e^iz + e^-iz2
Isso porque a conjugada de uma soma é a soma das conjugadas, e a conjugada de um escalar multiplicando é o escalar multiplicando a conjugada.

Passo 5

Sabemos que para um número complexo w, a conjugada de e^w é e^w. Aplicando isso aos termos e^iz e e^-iz:
e^iz = e^iz e e^-iz = e^-iz

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da conjugada de cos z:
cos z = e^iz + e^-iz2

Passo 7

Observamos que a expressão acima é exatamente a definição de cos z:
cos z = e^iz + e^-iz2

Resposta

Portanto, mostramos que cos z = cos z.

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