Resolva a equação:
d zd t=tx e^t+2 x

Passo 1

Resumimos o enunciado: trata-se da EDO de primeira ordem
dzdt = tx,e^t+2x,
onde x aparece apenas como parâmetro constante. Para encontrar z(t), basta integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 2

Escrevemos a solução geral por integração direta:
z(t) = integral tx,e^t+2x,dt + C

Passo 3

Para calcular a integral, fatoramos e^-2x e obtemos
integral tx,e^t+2x,dt = e^-2xx,integral t,e^-t,dt
Agora usamos integração por partes em integral t,e^-t,dt. Definindo u=t, dv=e^-t,dt (logo du=dt e v=-e^-t), vem
integral t,e^-t,dt = u,v - integral v,du = -t,e^-t - integral(-e^-t),dt = -(t+1)e^-t + C

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de z(t) e absorvendo constantes em C, temos
z(t) = e^-2xxl[-(t+1)e^-tr] + C = -t+1x,e^-t-2x + C

Resposta

z(t) = -t+1x,e^-t-2x + C

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