Determine :
Passo 1
Beleza, vamos resolver este limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e entender como os logaritmos se comportam quando
cresce sem limites (vai para infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Para isso, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz:
Aplicando isso ao nosso numerador:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Outra propriedade dos logaritmos nos permite trazer o expoente para a frente:
Então, substituindo de volta na expressão do numerador:
Passo 4
Agora, nossa expressão original fica:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito para cada parte da expressão:
- O primeiro termo é 2, que obviamente não muda.
- O segundo termo é
. Conforme cresce, também cresce, mas cresce muito mais devagar. Na verdade, quando vai para infinito, tende a 0.
Passo 6
Então, somando os dois resultados:
Resposta
O limite é 2.