Determine :
lim x infty ln (x^2 ln x)ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver este limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x infty ln (x^2 ln x)ln x
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e entender como os logaritmos se comportam quando x cresce sem limites (vai para infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador ln (x^2 ln x) . Para isso, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz:
ln(a cdot b) = ln a + ln b
Aplicando isso ao nosso numerador:
ln (x^2 ln x) = ln x^2 + ln (ln x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln x^2 . Outra propriedade dos logaritmos nos permite trazer o expoente para a frente:
ln x^2 = 2 ln x
Então, substituindo de volta na expressão do numerador:
ln (x^2 ln x) = 2 ln x + ln (ln x)

Passo 4

Agora, nossa expressão original fica:
ln (x^2 ln x)ln x = 2 ln x + ln (ln x)ln x
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
2 ln xln x + ln (ln x)ln x = 2 + ln (ln x)ln x

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando x tende ao infinito para cada parte da expressão:
  1. O primeiro termo é 2, que obviamente não muda.
  2. O segundo termo é ln (ln x)ln x . Conforme x cresce, ln x também cresce, mas ln (ln x) cresce muito mais devagar. Na verdade, quando x vai para infinito, ln (ln x)ln x tende a 0.

Passo 6

Então, somando os dois resultados:
2 + 0 = 2

Resposta

O limite é 2.

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