Os vetores dados são soluções de um sistema X^prime=A X. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em ]-infty, infty[. (O conjunto de soluções é linearmente independente em ]-infty, infty[ ).
X1=[c1 -2 4]+t[l1 2 2], X2=[c1 -2 4], X3=[c3 -6 12]+t[l2 4 4]

Passo 1

O enunciado apresenta três soluções vetoriais de um sistema X'=A X:
X1(t)=1-24+t122, X2(t)=1-24, X3(t)=3-612+t244
Precisamos verificar se X1, X2, X3 são linearmente independentes em (-infty,infty), ou seja, se a única relação
alpha, X1(t)+beta, X2(t)+gamma, X3(t)=0
para todo t é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e separamos os termos constantes e os termos que multiplicam t:
alphal( v1+t w1r)+beta, v2+gammal( v3+t w3r)=0,
onde
v1=1-24,
w1=122,
v2=1-24,
v3=3-612,
w3=244.
Assim, o somatório é
(alpha, v1+beta, v2+gamma, v3) + t,(alpha, w1+gamma, w3)=0

Passo 3

Como essa soma deve ser o vetor zero para todo t, tanto o coeficiente constante quanto o coeficiente de t devem ser zero:
  1. Coeficiente de t:
alpha, w1+gamma, w3 =alpha122 +gamma244 =alpha+2gamma2alpha+4gamma2alpha+4gamma =000
Isto fornece as equações
alpha+2gamma=0, 2alpha+4gamma=0

Passo 4

  1. Coeficiente constante:
alpha, v1+beta, v2+gamma, v3 =alpha1-24 +beta1-24 +gamma3-612 =0,
que em cada componente dá
alpha+beta+3gamma=0, -2alpha-2beta-6gamma=0, 4alpha+4beta+12gamma=0
Todas três se resumem a beta+gamma=0.

Passo 5

Do sistema
alpha+2gamma=0 e beta+gamma=0
vem alpha=-2gamma e beta=-gamma. Como podemos escolher gammaneq0, há solução não trivial, por exemplo
gamma=1implies(alpha,beta,gamma)=(-2,-1,1). Logo existe relação
-2, X1(t)-1, X2(t)+1, X3(t)=0
não trivial, ou equivalentemente
X3(t)=2, X1(t)+ X2(t)
Isso mostra dependência linear.

Resposta

As soluções X1, X2, X3 são linearmente dependentes em (-infty,infty) e, portanto, não formam um conjunto fundamental.

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