Os vetores dados são soluções de um sistema . Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em . (O conjunto de soluções é linearmente independente em ).
Passo 1
O enunciado apresenta três soluções vetoriais de um sistema X'=A X:
X1(t)=1-24+t122, X2(t)=1-24, X3(t)=3-612+t244
Precisamos verificar se X1, X2, X3 são linearmente independentes em (-infty,infty), ou seja, se a única relação
alpha, X1(t)+beta, X2(t)+gamma, X3(t)=0
para todo t é alpha=beta=gamma=0.
Passo 2
Escrevemos a combinação geral e separamos os termos constantes e os termos que multiplicam t:
alphal( v1+t w1r)+beta, v2+gammal( v3+t w3r)=0,
onde v1=1-24, w1=122, v2=1-24, v3=3-612, w3=244.
Assim, o somatório é
Do sistema alpha+2gamma=0 e beta+gamma=0
vem alpha=-2gamma e beta=-gamma. Como podemos escolher gammaneq0, há solução não trivial, por exemplo gamma=1implies(alpha,beta,gamma)=(-2,-1,1). Logo existe relação
-2, X1(t)-1, X2(t)+1, X3(t)=0
não trivial, ou equivalentemente
X3(t)=2, X1(t)+ X2(t)
Isso mostra dependência linear.
Resposta
As soluções X1, X2, X3 são linearmente dependentes em (-infty,infty) e, portanto, não formam um conjunto fundamental.