Determine :
os intervalos onde g(x)=integral0^x^2 t e^-t^2 d t é crescente/decrescente.

Passo 1

O enunciado define
g(x)=integral0^x^2t,e^-t^2,dt
e pede os intervalos em que g é crescente ou decrescente. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (para derivar integrais de limite variável) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia, se
G(u)=integral0^ut,e^-t^2,dt,
então G'(u)=u,e^-u^2. Como g(x)=G(x^2), temos
g'(x)=G'(x^2)cdotddx(x^2) =(x^2e^-x^4)cdot 2x

Passo 3

Simplificando,
g'(x)=2x^3e^-x^4
Note que e^-x^4>0 para todo x. Logo o sinal de g'(x) vem de 2x^3.

Passo 4

Analisando 2x^3:
  • Para x>0, 2x^3>0 Rightarrow g'(x)>0.
  • Para x<0, 2x^3<0 Rightarrow g'(x)<0.
  • Em x=0, g'(0)=0.

Resposta

g é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).

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