Determine :
integrala^b g^prime(x)g(x) d x, sabendo que g não se anula em [a, b].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de g'(x)g(x) de a até b . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais e propriedades de funções logarítmicas.

Passo 2

Vamos lembrar que a derivada do logaritmo natural de uma função g(x) é dada por:
ddx ln(g(x)) = g'(x)g(x)
Isso significa que g'(x)g(x) é a derivada de ln(g(x)) .

Passo 3

Para encontrar a integral de g'(x)g(x) , podemos usar o fato de que a integral de uma derivada nos dá a própria função original (até uma constante). Portanto:
integral g'(x)g(x) , dx = ln(g(x)) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Como estamos tratando de uma integral definida de a até b , aplicamos os limites de integração diretamente na expressão obtida:
integrala^b g'(x)g(x) , dx = [ ln(g(x)) ]a^b = ln(g(b)) - ln(g(a))

Resposta

O valor da integral é ln(g(b)) - ln(g(a)) .

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