Os vetores dados são soluções de um sistema X^prime=A X. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em ]-infty, infty[. (O conjunto de soluções é linearmente independente em ]-infty, infty[ ).
X1=[c1 -1] e^t, X2=[l2 6] e^t+[c8 -8] t e^t

Passo 1

O enunciado dá duas soluções
X1(t)=1-1e^t
e
X2(t)=l(26+8-8tr)e^t
do sistema X'=AX e pede para verificar se elas formam um conjunto fundamental em (-infty,infty). Vamos usar o critério de independência linear via Wronskiano.

Passo 2

Para soluções de um sistema linear de ordem 2, as duas soluções são linearmente independentes em um intervalo se, e somente se, o Wronskiano
W(t)=detl[X1(t),X2(t)r]
for diferente de zero para todo t nesse intervalo.

Passo 3

Escrevendo as componentes:
X1(t)=e^t-e^t, X2(t)=(2+8t)e^t(6-8t)e^t )

Passo 4

Calculamos o Wronskiano:
W(t) =det e^t & (2+8t)e^t -,e^t & (6-8t)e^t =e^tcdot e^tl[(6-8t)-(-1)(2+8t)r] =e^2tl(6-8t+2+8tr) =8e^2t

Passo 5

Como W(t)=8e^2tneq0 para todo tin(-infty,infty), as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.

Resposta

Sim. Os vetores X1 e X2 formam um conjunto fundamental em (-infty,infty).

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