São dadas as retas r:lx=1+lambda y=1+2 lambda z=2-lambda e s:lx=3-alpha y=4-alpha z=-1+2 alpha
Dê equações da reta t, que passa por P e é perpendicular a r e a s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas
r: x=1+lambda, y=1+2lambda, z=2-lambda, s: x=3-alpha, y=4-alpha, z=-1+2alpha,
e pede a reta t que passa por um ponto P comum a r e s e é perpendicular a ambas. O conteúdo usado será: encontrar o ponto de interseção, extrair vetores diretores e usar produto vetorial para obter a direção de t.

Passo 2

Vamos achar o ponto P em que r e s se cruzam. Igualamos coordenadas:
1+lambda = 3-alpha, 1+2lambda = 4-alpha, 2-lambda = -1+2alpha
Das duas primeiras,
lambda+alpha = 2, 2lambda+alpha = 3 ;Longrightarrow; lambda=1, alpha=1
Confirma-se na terceira: 2-1 = 1 e -1+2cdot1 =1. Logo
P = (1+1,;1+2cdot1,;2-1) = (2,3,1)

Passo 3

Os vetores diretores de r e s são, respectivamente,
vec vr = (1,2,-1), vec vs = (-1,-1,2)

Passo 4

A reta t deve ser perpendicular a r e a s, logo sua direção é ortogonal a vec vr e vec vs. Um vetor ortogonal aos dois é o produto vetorial:
vec d = vec vr times vec vs = l(2cdot2 - (-1)cdot(-1),; - l(1cdot2 -(-1)cdot(-1)r),; 1cdot(-1) - 2cdot(-1)r) = (3,-1,1)

Passo 5

Como t passa por P=(2,3,1) e tem direção vec d=(3,-1,1), suas equações paramétricas são
t: x = 2 + 3t, y = 3 - t, z = 1 + t

Resposta

t: x = 2 + 3t, y = 3 - t, z = 1 + t

Exercícios relacionados