Determine a e b em p(x)=-3 x^4+a x^3-5 x^2+b x-2, sabendo que 1 é raiz de p(x) e que p(2)=-80.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio de quarto grau
p(x)=-3x^4+ax^3-5x^2+bx-2
e pede para achar os coeficientes a e b usando duas condições: que x=1 é raiz de p(x) e que p(2)=-80. Vamos usar avaliação de polinômios e sistemas lineares.

Passo 2

Como 1 é raiz, aplicamos p(1)=0. Substituindo x=1 em p(x) temos:
p(1)=-3cdot1^4+acdot1^3-5cdot1^2+bcdot1-2=-3+a-5+b-2=a+b-10
Como p(1)=0, segue a equação
a+b-10=0
Logo,
b=10-a

Passo 3

Usando p(2)=-80, substituímos x=2 em p(x):
p(2)=-3cdot2^4+acdot2^3-5cdot2^2+bcdot2-2=-48+8a-20+2b-2=8a+2b-70
Como p(2)=-80, obtemos
8a+2b-70=-80
que simplifica para
8a+2b=-10
e dividindo por 2:
4a+b=-5

Passo 4

Agora substituímos b=10-a na equação 4a+b=-5:
4a+(10-a)=-5
3a+10=-5
3a=-15
a=-5
Em seguida,
b=10-(-5)=15

Resposta

a=-5, ; b=15

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