Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 8y'' = -6x^2 + 9x + 2
O conteúdo é resolução de EDOs por método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a solução homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^3 + 8r^2 = 0
que fatora como
r^2(r + 8) = 0
Logo, as raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-8, resultando na solução homogênea
yh = C1 + C2 x + C3 e^-8x

Passo 3

Para a parte particular, o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, então supomos inicialmente
yp = Ax^2 + Bx + C
Como r=0 é raiz dupla da homogênea, multiplicamos o palpite por x^2. Assim adotamos
yp = x^2(Ax^2 + Bx + C) = A x^4 + B x^3 + C x^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 4A x^3 + 3B x^2 + 2C x,
yp'' = 12A x^2 + 6B x + 2C,
yp''' = 24A x + 6B
Substituímos em y''' + 8y'':
yp''' + 8yp'' = (24A x + 6B) + 8(12A x^2 + 6B x + 2C)

Passo 5

Expandindo e igualando ao lado direito -6x^2 + 9x + 2, temos
96A x^2 + (24A + 48B)x + (6B + 16C) = -6x^2 + 9x + 2
Igualando coeficientes:
96A = -6,
24A + 48B = 9,
6B + 16C = 2
Resolvendo o sistema, obtemos
A = -tfrac116, B = tfrac732, C = tfrac11256

Passo 6

A solução geral da equação é dada pela soma da parte homogênea e da parte particular: y(x) = yh + yp.

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-8x - tfrac116x^4 + tfrac732x^3 + tfrac11256x^2

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