Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Nesse exercício, temos a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de EDOs por método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a solução homogênea e depois uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
que fatora como
Logo, as raízes são
(multiplicidade 2) e
, resultando na solução homogênea
Passo 3
Para a parte particular, o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, então supomos inicialmente
Como
é raiz dupla da homogênea, multiplicamos o palpite por
. Assim adotamos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos em
:
Passo 5
Expandindo e igualando ao lado direito
, temos
Igualando coeficientes:
Resolvendo o sistema, obtemos
Passo 6
A solução geral da equação é dada pela soma da parte homogênea e da parte particular:
.