Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2º ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear não homogênea e método dos coeficientes a determinar
Vamos precisar: solução geral da parte homogênea e palpite para a parte particular usando o formato e^αx vezes seno/cosseno.

Passo 2

A parte homogênea vem de resolver a equação característica
r^2 - 2r + 5 = 0
O discriminante é Δ = (-2)^2 - 4·1·5 = -16, então as raízes são
r = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh = e^xl(C1cos2x + C2sin2xr)

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é e^xsin x sem ressonância (a frequência 1 difere da frequência 2 da homogênea), usamos o palpite
yp = e^xl(Acos x + Bsin xr)

Passo 4

Precisamos das derivadas de yp. Definindo u(x)=Acos x+Bsin x, temos:
yp = e^x u, yp' = e^x(u+u'), yp'' = e^x(u+2u'+u'')
Como u'=-Asin x+Bcos x e u''=-u, então u+2u'+u''=2u'. Logo
yp'' = 2e^x u', yp' = e^x(u+u')

Passo 5

Substituindo na EDO:
yp'' - 2yp' + 5yp = e^xl(2u' -2(u+u') +5ur) = e^x(3u) = e^xl(3Acos x +3Bsin xr)
Este deve ser igual a e^xsin x, ou seja
3Acos x +3Bsin x = 0cos x +1sin x
Assim
3A=0implies A=0, 3B=1implies B=tfrac13

Passo 6

O palpite particular fica
yp = e^xl(0cdotcos x + tfrac13sin xr) = tfrac13e^xsin x
Logo a solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos2x + C2sin2xr) + tfrac13e^xsin x

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