Questão 2
Dizemos que duas sequências são adjacentes se uma é crescente, a outra é decrescente e a diferença das duas converge para 0 .
a. Nos casos seguintes, as sequências
}) e }) são adjacentes? Justificar a resposta.
b. Seja
um numero positivo e sejam }) e }) as sequências definidas para todo $n
in
mathbb{N^{*}}
$ por :
e
. Achar os valores de
tais que as sequências sejam adjacentes.
i)
e
;
ii)
e
;
a. Nos casos seguintes, as sequências
}) e }) são adjacentes? Justificar a resposta.
b. Seja
in
mathbb{N^{*}}
$ por :
i)
ii)
Passo 1
O enunciado define duas sequências como adjacentes se uma é crescente, a outra é decrescente e a diferença entre elas converge para 0. Na parte a) temos dois pares de sequências para testar; na parte b) temos sequências dependentes de um parâmetro
e precisamos encontrar o valor de
que torna as duas adjacentes.
Passo 2
Para o caso a.i) temos
e
. Note que
é uma sequência estritamente decrescente, então
é estritamente crescente e
é estritamente decrescente. A diferença entre elas é
que converge a 0 quando
. Logo, uma é crescente, a outra decrescente e a diferença tende a zero, ou seja, são adjacentes.
Passo 3
No caso a.ii) temos
e
. A função
tem derivada
para
, o que mostra que
é crescente. Como
também é crescente, não há uma sequência decrescente. Portanto, elas NÃO são adjacentes, mesmo que
.
Passo 4
Na parte b), temos
(crescente) e
. Como
é decrescente em
,
é decrescente. Para a diferença
convergir a zero, o limite quando
deve satisfazer
ou seja,
e portanto
.
Resposta
a.i) São adjacentes.
a.ii) Não são adjacentes.
b) O valor de que garante adjacência é
.
a.ii) Não são adjacentes.
b) O valor de