Questão 2

Dizemos que duas sequências são adjacentes se uma é crescente, a outra é decrescente e a diferença das duas converge para 0 .
a. Nos casos seguintes, as sequências
}) e }) são adjacentes? Justificar a resposta.
b. Seja a um numero positivo e sejam }) e }) as sequências definidas para todo $n

in

mathbb{N^{*}}
$ por : n in N^* e un=1-1n. Achar os valores de a tais que as sequências sejam adjacentes.
i) un=1-10^-n e vn=1+10^-n;
ii) un=ln (n+1) e vn=ln (n+1)-1n;

Passo 1

O enunciado define duas sequências como adjacentes se uma é crescente, a outra é decrescente e a diferença entre elas converge para 0. Na parte a) temos dois pares de sequências para testar; na parte b) temos sequências dependentes de um parâmetro a>0 e precisamos encontrar o valor de a que torna as duas adjacentes.

Passo 2

Para o caso a.i) temos un = 1 - 10^-n e vn = 1 + 10^-n. Note que 10^-n é uma sequência estritamente decrescente, então un = 1 - 10^-n é estritamente crescente e vn = 1 + 10^-n é estritamente decrescente. A diferença entre elas é
vn - un = (1 + 10^-n) - (1 - 10^-n) = 2,10^-n,
que converge a 0 quando ntoinfty. Logo, uma é crescente, a outra decrescente e a diferença tende a zero, ou seja, são adjacentes.

Passo 3

No caso a.ii) temos un = ln(n+1) e vn = ln(n+1) - tfrac1n. A função f(x)=ln(x+1)-1/x tem derivada
f'(x)=1x+1+1x^2>0
para x>0, o que mostra que vn=f(n) é crescente. Como un=ln(n+1) também é crescente, não há uma sequência decrescente. Portanto, elas NÃO são adjacentes, mesmo que vn - un = -1/nto0.

Passo 4

Na parte b), temos un=1-tfrac1n (crescente) e vn=lnl(a+tfrac1nr). Como a+tfrac1n é decrescente em n, vn é decrescente. Para a diferença
vn - un = lnl(a+tfrac1nr) - 1 + tfrac1n
convergir a zero, o limite quando ntoinfty deve satisfazer
limntoinfty(vn-un)=ln(a)-1=0
ou seja, ln(a)=1 e portanto a=e.

Resposta

a.i) São adjacentes.
a.ii) Não são adjacentes.
b) O valor de a que garante adjacência é a=e.

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