Esboce o gráfico de
Determine vértice, eixo de simetria, imagem, zeros e intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente:
- o vértice;
- o eixo de simetria;
- a imagem (intervalo de valores que
assume); - os zeros (raízes, interceptos com o eixo
); - os intervalos de crescimento e de decrescimento;
e também um esboço do gráfico.
Anotações úteis que já temos do enunciado: a função está dada na formacom sinal negativo na frente e um termo constante . Não há outras informações externas.
Passo 2
Entender a forma da parábola e como ler o vértice direto da expressão.
A forma canônica (ou vértice) de uma parábola é
A forma canônica (ou vértice) de uma parábola é
onde:
-
diz se a parábola abre para cima ( ) ou para baixo ( ); -
é o vértice (o ponto máximo ou mínimo).
Comparando comvemos que
Portanto a leitura imediata já indica que a parábola abre para baixo (porque
) e que o vértice está em
. Vou confirmar esse resultado também por derivada no passo seguinte (duas maneiras ajudam na prova).
Passo 3
Confirmando o vértice por derivada (método alternativo útil na prova).
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Um extremo ocorre onde
, ou seja
Valor da função no extremo:
Portanto o extremo está em
, coincidindo com a leitura direta. Como a segunda derivada é
o extremo é um máximo. Assim faz todo sentido: vértice máximo em
.
Passo 4
Eixo de simetria.
Para uma parábola na forma o eixo de simetria é a reta vertical
. Aqui
, então o eixo de simetria é
Para uma parábola na forma
Isto significa que os pontos do gráfico à esquerda de
têm correspondentes simétricos à direita de
.
Passo 5
Encontrar os zeros (raízes) resolvendo
.
Partimos de
Partimos de
Passo a passo:
Portanto as soluções são
Logo os zeros (interseções com o eixo
) são
e
, ou pontos
e
.
Passo 6
Intercepto com o eixo
(útil para esboçar).
Coloca :
Coloca
Assim o intercepto
é o ponto
.
Passo 7
Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume).
Como a parábola abre para baixo ( ) e tem máximo no vértice em
, os valores possíveis de
vão até
e para baixo sem limite. Em notação:
Como a parábola abre para baixo (
Passo 8
Intervalos de crescimento e decrescimento (usando o sinal da derivada).
Temos .
Temos
-
quando . Assim é crescente em
-
quando . Assim é decrescente em
No ponto
a derivada é zero (vértice / máximo).
Passo 9
Como esboçar o gráfico (passos práticos para fazer à mão na prova)
- Marcar o vértice
. - Desenhar a reta de simetria vertical
como guia. - Marcar os zeros
e . Note que eles estão simétricos em relação a . - Marcar o intercepto
em (entre o zero em e o vértice). - Traçar uma parábola que passa por esses pontos, com concavidade para baixo, máxima em
.
Se quiser, verifique que parae os valores são iguais por simetria: . Isso ajuda a dar a curvatura correta.
Resposta
Vértice:
Eixo de simetria:
Imagem:
Zeros: e
(pontos
e
)
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Eixo de simetria:
Imagem:
Zeros:
Intervalo de crescimento:
Intervalo de decrescimento: