Esboce o gráfico de
g(x)=-(x+1)^{2}+4
Determine vértice, eixo de simetria, imagem, zeros e intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=-(x+1)^{2}+4
e pede explicitamente:
  • o vértice;
  • o eixo de simetria;
  • a imagem (intervalo de valores que g assume);
  • os zeros (raízes, interceptos com o eixo x);
  • os intervalos de crescimento e de decrescimento;
    e também um esboço do gráfico.
    Anotações úteis que já temos do enunciado: a função está dada na forma (x+1)^{2} com sinal negativo na frente e um termo constante +4. Não há outras informações externas.

Passo 2

Entender a forma da parábola e como ler o vértice direto da expressão.
A forma canônica (ou vértice) de uma parábola é
y=a(x-h)^{2}+k,
onde:
  • a diz se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0);
  • (h,k) é o vértice (o ponto máximo ou mínimo).
    Comparando com \;g(x)=-(x+1)^{2}+4\; vemos que
a=-1,\qquad h=-1,\qquad k=4.
Portanto a leitura imediata já indica que a parábola abre para baixo (porque a=-1<0) e que o vértice está em (h,k)=(-1,4). Vou confirmar esse resultado também por derivada no passo seguinte (duas maneiras ajudam na prova).

Passo 3

Confirmando o vértice por derivada (método alternativo útil na prova).
Calcule a derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-(x+1)^{2}+4\bigr)=-2(x+1).
Um extremo ocorre onde g'(x)=0, ou seja
-2(x+1)=0\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Valor da função no extremo:
g(-1)= -(-1+1)^{2}+4 = -0^{2}+4 = 4.
Portanto o extremo está em (-1,4), coincidindo com a leitura direta. Como a segunda derivada é
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2(x+1)\bigr)=-2<0,
o extremo é um máximo. Assim faz todo sentido: vértice máximo em (-1,4).

Passo 4

Eixo de simetria.
Para uma parábola na forma (x-h)^{2} o eixo de simetria é a reta vertical x=h. Aqui h=-1, então o eixo de simetria é
x=-1.
Isto significa que os pontos do gráfico à esquerda de x=-1 têm correspondentes simétricos à direita de x=-1.

Passo 5

Encontrar os zeros (raízes) resolvendo g(x)=0.
Partimos de
-(x+1)^{2}+4=0.
Passo a passo:
-(x+1)^{2}=-4
(x+1)^{2}=4
x+1=\pm 2
Portanto as soluções são
x=-1+2=1\quad\text{e}\quad x=-1-2=-3.
Logo os zeros (interseções com o eixo x) são x=1 e x=-3, ou pontos (1,0) e (-3,0).

Passo 6

Intercepto com o eixo y (útil para esboçar).
Coloca x=0:
g(0)=-(0+1)^{2}+4= -1+4=3.
Assim o intercepto y é o ponto (0,3).

Passo 7

Determinar a imagem (conjunto de valores que g assume).
Como a parábola abre para baixo ( a=-1<0) e tem máximo no vértice em y=4, os valores possíveis de g(x) vão até 4 e para baixo sem limite. Em notação:
\text{imagem} = (-\infty,\,4].

Passo 8

Intervalos de crescimento e decrescimento (usando o sinal da derivada).
Temos g'(x)=-2(x+1).
  • g'(x)>0 quando -2(x+1)>0\Rightarrow x+1<0\Rightarrow x<-1. Assim g é crescente em
(-\infty,\,-1).
  • g'(x)<0 quando x>-1. Assim g é decrescente em
(-1,\,+\infty).
No ponto x=-1 a derivada é zero (vértice / máximo).

Passo 9

Como esboçar o gráfico (passos práticos para fazer à mão na prova)
  • Marcar o vértice (-1,4).
  • Desenhar a reta de simetria vertical x=-1 como guia.
  • Marcar os zeros (-3,0) e (1,0). Note que eles estão simétricos em relação a x=-1.
  • Marcar o intercepto y em (0,3) (entre o zero em x=1 e o vértice).
  • Traçar uma parábola que passa por esses pontos, com concavidade para baixo, máxima em (-1,4).
    Se quiser, verifique que para x=-2 e x=0 os valores são iguais por simetria: g(-2)=g(0)=3. Isso ajuda a dar a curvatura correta.

Resposta

Vértice: (-1,4)
Eixo de simetria: x=-1
Imagem: (-\infty,\,4]
Zeros: x=-3 e x=1 (pontos (-3,0) e (1,0))
Intervalo de crescimento: (-\infty,-1)
Intervalo de decrescimento: (-1,\,+\infty)

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