Determine os pontos de interseção entre
f(x)=x^{2}-4 x+1 \quad \text { e } \quad g(x)=2 x-5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de interseção entre as curvas dadas. As informações fornecidas são:
  • A função quadrática f(x)=x^{2}-4x+1.
  • A função linear g(x)=2x-5.
O que o problema quer: determinar todos os pontos (x,y) que pertencem simultaneamente a f e a g — isto é, os valores de x para os quais f(x)=g(x) e os correspondentes valores de y.

Passo 2

Para achar interseções igualamos as duas funções:
x^{2}-4x+1 = 2x-5.
Isto vem diretamente da definição de ponto de interseção: mesmo x deve produzir o mesmo valor y em ambas as curvas.

Passo 3

Reorganizamos a igualdade para obter uma equação quadrática na forma padrão ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo 2x-5 dos dois lados:
x^{2}-4x+1-(2x-5)=0.
Calculando termo a termo:
x^{2}-4x+1-2x+5=0
x^{2}-6x+6=0.
Aqui temos a=1, b=-6 e c=6.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para resolver ax^{2}+bx+c=0. A fórmula diz:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando: a, b, c são os coeficientes da equação quadrática; o discriminante \Delta=b^{2}-4ac determina o tipo de raízes:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0: raízes complexas (nenhuma interseção real).
Calculamos o discriminante para o nosso caso:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 36-24=12.
Como \Delta=12>0, haverá duas interseções reais distintas. A raiz quadrada de \Delta simplifica para \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{12}}{2\cdot1}=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}.
Dividindo numerador e denominador por 2:
x=3\pm\sqrt{3}.
Portanto os valores de x das interseções são \,x_{1}=3+\sqrt{3}\, e \,x_{2}=3-\sqrt{3}\,.

Passo 6

Agora encontramos as correspondentes coordenadas y. É mais simples usar a reta g(x)=2x-5 (qualquer das funções dá o mesmo resultado). Calculando:
Para x_{1}=3+\sqrt{3},
y_{1}=g(3+\sqrt{3})=2(3+\sqrt{3})-5=6+2\sqrt{3}-5=1+2\sqrt{3}.
Para x_{2}=3-\sqrt{3},
y_{2}=g(3-\sqrt{3})=2(3-\sqrt{3})-5=6-2\sqrt{3}-5=1-2\sqrt{3}.
Logo os pontos de interseção são \bigl(3+\sqrt{3},\,1+2\sqrt{3}\bigr) e \bigl(3-\sqrt{3},\,1-2\sqrt{3}\bigr).

Resposta

\bigl(3+\sqrt{3},\,1+2\sqrt{3}\bigr)
\bigl(3-\sqrt{3},\,1-2\sqrt{3}\bigr)

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