Resolva as integrais indefinidas:
\int e^{10 x} \cdot \cos 4 x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int e^{10x}\cdot \cos 4x \, dx.
Informações dadas e relevantes: a integranda é o produto de uma exponencial e^{10x} e uma função trigonométrica \cos 4x. Estamos procurando uma primitiva dessa função (ou seja, a integral indefinida, que terá constante de integração).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar e por quê (curso rápido): integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando. A ideia é escolher u e dv de modo que du e v sejam fáceis de calcular. Aqui, tanto e^{10x} quanto \cos 4x são fáceis de derivar/integrar, e a técnica clássica para \int e^{ax}\cos(bx)\,dx é aplicar integração por partes duas vezes e resolver o sistema que aparece. Vou mostrar passo a passo.

Passo 3

Defina a integral que queremos:
I = \int e^{10x}\cos 4x \, dx.
Escolhemos, para a primeira integração por partes, u = e^{10x} e dv = \cos 4x\,dx. Então:
du = 10 e^{10x}\,dx,\qquad v = \int \cos 4x\,dx = \frac{1}{4}\sin 4x.
Aplicando a fórmula:
I = uv - \int v\,du = \frac{1}{4}e^{10x}\sin 4x - \int \frac{1}{4}\sin 4x \cdot 10 e^{10x}\,dx.
Simplificando o fator:
I = \frac{1}{4}e^{10x}\sin 4x - \frac{10}{4}\int e^{10x}\sin 4x\,dx.
Definimos
J = \int e^{10x}\sin 4x\,dx,
portanto
I = \frac{1}{4}e^{10x}\sin 4x - \frac{10}{4} J.

Passo 4

Agora calculamos J por partes também. Tome u = e^{10x} e dv = \sin 4x\,dx. Então:
du = 10 e^{10x}\,dx,\qquad v = \int \sin 4x\,dx = -\frac{1}{4}\cos 4x.
Aplicando integração por partes:
J = uv - \int v\,du = -\frac{1}{4}e^{10x}\cos 4x - \int \left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)10 e^{10x}\,dx.
Simplificando:
J = -\frac{1}{4}e^{10x}\cos 4x + \frac{10}{4}\int e^{10x}\cos 4x\,dx.
Mas \int e^{10x}\cos 4x\,dx = I, então
J = -\frac{1}{4}e^{10x}\cos 4x + \frac{10}{4} I.

Passo 5

Substituímos a expressão de J na expressão de I obtida no Passo 3:
I = \frac{1}{4}e^{10x}\sin 4x - \frac{10}{4}\left(-\frac{1}{4}e^{10x}\cos 4x + \frac{10}{4} I\right).
Agora distribuímos os fatores:
I = \frac{1}{4}e^{10x}\sin 4x + \frac{10}{4}\cdot\frac{1}{4}e^{10x}\cos 4x - \frac{10}{4}\cdot\frac{10}{4} I.
Calcule os coeficientes numéricos:
\frac{10}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},\qquad \frac{10}{4}\cdot\frac{10}{4}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}.
Logo
I = e^{10x}\!\left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{5}{8}\cos 4x\right) - \frac{25}{4} I.

Passo 6

Isolamos I. Somando \frac{25}{4}I aos dois lados:
I + \frac{25}{4} I = e^{10x}\!\left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{5}{8}\cos 4x\right).
O lado esquerdo é
\left(1+\frac{25}{4}\right)I = \frac{29}{4} I.
Portanto
\frac{29}{4} I = e^{10x}\!\left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{5}{8}\cos 4x\right).
Multiplicando ambos os lados por \frac{4}{29}:
I = \frac{4}{29} e^{10x}\!\left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{5}{8}\cos 4x\right).

Passo 7

Simplificamos os coeficientes:
\frac{4}{29}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{29},\qquad \frac{4}{29}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{58}.
Assim
I = e^{10x}\!\left(\frac{1}{29}\sin 4x + \frac{5}{58}\cos 4x\right) + C,
onde C é a constante de integração. Podemos escrever com denominador comum 58:
I = \frac{e^{10x}}{58}\left(5\cos 4x + 2\sin 4x\right) + C.
Outra forma equivalente, usando 116 = 2\cdot 58, é
I = \frac{e^{10x}}{116}\left(10\cos 4x + 4\sin 4x\right) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{10x}}{116}\left(10\cos 4x + 4\sin 4x\right) + C

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