Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e relevantes: a integranda é o produto de uma exponencial
e uma função trigonométrica
. Estamos procurando uma primitiva dessa função (ou seja, a integral indefinida, que terá constante de integração).
Passo 2
Ferramenta que vamos usar e por quê (curso rápido): integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhidos a partir do integrando. A ideia é escolher
e
de modo que
e
sejam fáceis de calcular. Aqui, tanto
quanto
são fáceis de derivar/integrar, e a técnica clássica para
é aplicar integração por partes duas vezes e resolver o sistema que aparece. Vou mostrar passo a passo.
Passo 3
Defina a integral que queremos:
Escolhemos, para a primeira integração por partes,
e
. Então:
Aplicando a fórmula:
Simplificando o fator:
Definimos
portanto
Passo 4
Agora calculamos
por partes também. Tome
e
. Então:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Mas
, então
Passo 5
Substituímos a expressão de
na expressão de
obtida no Passo 3:
Agora distribuímos os fatores:
Calcule os coeficientes numéricos:
Logo
Passo 6
Isolamos
. Somando
aos dois lados:
O lado esquerdo é
Portanto
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Simplificamos os coeficientes:
Assim
onde
é a constante de integração. Podemos escrever com denominador comum
:
Outra forma equivalente, usando
, é