Uma empresa de engenharia está construindo três pontes, denominadas Ponte A, Ponte B e Ponte C, em uma cidade. Eles têm registros das quantidades de materiais utilizados em cada ponte, que podem ser representados por matrizes. Seja a matriz P com as quantidades de materiais da Ponte A, a matriz Q com as quantidades de materiais da Ponte B e a matriz R com as quantidades de materiais da Ponte C. A matriz resultante do produto das matrizes P, Q e R, nessa ordem, é dada por: (P x Q) x R.(Q x R) x P.(R x P) x Q.P x (Q x R).Q x (P x R).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre matrizes e multiplicação delas, aplicado a três pontes: Ponte A, Ponte B e Ponte C. Cada ponte tem uma matriz que representa a quantidade de materiais usados: matriz P para a Ponte A, matriz Q para a Ponte B e matriz R para a Ponte C. A questão quer saber qual é a maneira correta de multiplicar essas três matrizes na ordem P, Q e R. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e a propriedade de associatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é multiplicação de matrizes. Quando multiplicamos duas matrizes, como P e Q, o resultado é uma nova matriz que combina as informações das duas matrizes originais. É importante saber que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, P × Q não é igual a Q × P necessariamente.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre associatividade na multiplicação de matrizes. Essa propriedade diz que, quando temos três matrizes para multiplicar, a maneira como a gente agrupa as multiplicações não altera o resultado final. Em termos matemáticos, isso significa que:
Essa igualdade é válida porque a multiplicação de matrizes é associativa.
Passo 4
Com isso em mente, vamos analisar as opções que a questão apresentou para a multiplicação das matrizes P, Q e R:
Sabemos que apenas as primeiras e as quarta opções respeitam a ordem original de multiplicação (P, Q, R) e utilizam a propriedade de associatividade corretamente.
Passo 5
As demais opções, como
,
e
, alteram a ordem das matrizes ou agrupam de maneira que não segue a associatividade da multiplicação de matrizes. Essas formas não garantem que o resultado final será o mesmo da multiplicação na ordem P, Q e R.
Passo 6
Portanto, as formas corretas de multiplicar as matrizes na ordem P, Q e R são:
Resposta
As multiplicações corretas das matrizes P, Q e R na ordem dada são
e
.