Uma empresa de engenharia está construindo três pontes, denominadas Ponte A, Ponte B e Ponte C, em uma cidade. Eles têm registros das quantidades de materiais utilizados em cada ponte, que podem ser representados por matrizes. Seja a matriz P com as quantidades de materiais da Ponte A, a matriz Q com as quantidades de materiais da Ponte B e a matriz R com as quantidades de materiais da Ponte C. A matriz resultante do produto das matrizes P, Q e R, nessa ordem, é dada por:​ (P x Q) x R.(Q x R) x P.(R x P) x Q.P x (Q x R).Q x (P x R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre matrizes e multiplicação delas, aplicado a três pontes: Ponte A, Ponte B e Ponte C. Cada ponte tem uma matriz que representa a quantidade de materiais usados: matriz P para a Ponte A, matriz Q para a Ponte B e matriz R para a Ponte C. A questão quer saber qual é a maneira correta de multiplicar essas três matrizes na ordem P, Q e R. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e a propriedade de associatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é multiplicação de matrizes. Quando multiplicamos duas matrizes, como P e Q, o resultado é uma nova matriz que combina as informações das duas matrizes originais. É importante saber que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, P × Q não é igual a Q × P necessariamente.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre associatividade na multiplicação de matrizes. Essa propriedade diz que, quando temos três matrizes para multiplicar, a maneira como a gente agrupa as multiplicações não altera o resultado final. Em termos matemáticos, isso significa que:
(P times Q) times R = P times (Q times R)
Essa igualdade é válida porque a multiplicação de matrizes é associativa.

Passo 4

Com isso em mente, vamos analisar as opções que a questão apresentou para a multiplicação das matrizes P, Q e R:
  1. (P times Q) times R
  2. (Q times R) times P
  3. (R times P) times Q
  4. P times (Q times R)
  5. Q times (P times R)
Sabemos que apenas as primeiras e as quarta opções respeitam a ordem original de multiplicação (P, Q, R) e utilizam a propriedade de associatividade corretamente.

Passo 5

As demais opções, como (Q times R) times P, (R times P) times Q e Q times (P times R), alteram a ordem das matrizes ou agrupam de maneira que não segue a associatividade da multiplicação de matrizes. Essas formas não garantem que o resultado final será o mesmo da multiplicação na ordem P, Q e R.

Passo 6

Portanto, as formas corretas de multiplicar as matrizes na ordem P, Q e R são:
  • (P times Q) times R
  • P times (Q times R)

Resposta

As multiplicações corretas das matrizes P, Q e R na ordem dada são (P times Q) times R e P times (Q times R).

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