Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x)=x^3+2 x^2-4 x nos quais a reta tangente é:
a) horizontal
b) paralela à reta 2 y+8 x-5=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3+2x^2-4x
e pede as abscissas dos pontos onde a reta tangente é
a) horizontal
b) paralela à reta 2y+8x-5=0
Para isso vamos precisar da derivada de f, pois a inclinação da reta tangente em cada x é dada por f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^3+2x^2-4xr) =3x^2+4x-4

Passo 3

Para tangente horizontal, a inclinação deve ser zero, isto é,
f'(x)=0 Longrightarrow 3x^2+4x-4=0
Resolvendo essa equação quadrática:
x=-4pmraiz4^2-4cdot3cdot(-4)2cdot3 =-4pmraiz16+486 =-4pm86
Logo as soluções são
x=-2 e x=tfrac23

Passo 4

Para que a reta tangente seja paralela a 2y+8x-5=0, encontramos o coeficiente angular desta reta. Reescrevendo:
2y+8x-5=0 Longrightarrow y=-4x+tfrac52,
então o coeficiente angular é m=-4. Igualamos à derivada:
f'(x)=-4 Longrightarrow 3x^2+4x-4=-4 Longrightarrow 3x^2+4x=0 Longrightarrow x(3x+4)=0
Assim,
x=0 ou x=-tfrac43

Resposta

a) x=-2 e x=tfrac23
b) x=0 e x=-tfrac43

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